Définitions
- f est convexe sur I si sa courbe est au-dessus de ses tangentes (« sourit »).
- f est concave sur I si sa courbe est en dessous de ses tangentes (« fait la tête »).
- Un point d'inflexion est un point où f change de convexité.
Critère de la dérivée seconde
| Signe de f′′(x) | Convexité de f |
| f′′(x)>0 | f convexe (courbe au-dessus des tangentes) |
| f′′(x)<0 | f concave (courbe en dessous des tangentes) |
| f′′(x)=0 et changement de signe | Point d'inflexion |
Méthode : Étude de convexité
1. Calculer f′(x).
2. Calculer f′′(x)=(f′)′(x).
3. Dresser le tableau de signes de f′′(x).
4. Conclure sur les intervalles de convexité/concavité et repérer les points d'inflexion.
Point d'inflexion en x0 : f′′(x0)=0 et f′′ change de signe en x0.
*Exemple :* f(x)=x3−3x. f′(x)=3x2−3. f′′(x)=6x.
- f′′(x)<0 sur ]−∞;0[ (concave), f′′(x)>0 sur ]0;+∞[ (convexe).
- Point d'inflexion en (0,0).
