Dérivation

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

• calculer $f^{\prime }(x)$ ;
• déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $I$ (factorisation, étude d'un discriminant, signe d'un produit ou d'un quotient de facteurs) ;
• en déduire le sens de variation de $f$ grâce au théorème du signe de la dérivée, puis dresser le tableau de variations.

Exemple : soit $f(x)=x^3+\frac{9}{2}{x}^2-12x+5$ sur $\mathbb{R}$. On calcule $f^{\prime }(x)=3x^2+9x-12$, de discriminant $\Delta =81+144=225=15^2$, donc de racines $x_1=\frac{-9-15}{6}=-4$ et $x_2=\frac{-9+15}{6}=1$. Comme le coefficient dominant $3$ est positif, $f^{\prime }(x)\ge 0$ pour $x\in ]-\infty ;-4]\cup [1;+\infty [$ et $f^{\prime }(x)\le 0$ pour $x\in [-4;1]$ : $f$ est donc croissante sur $]-\infty ;-4]$, décroissante sur $[-4;1]$ puis croissante sur $[1;+\infty [$, avec un maximum local $f(-4)=61$ et un minimum local $f(1)=-\frac{3}{2}$.