Loi des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$. Pour tout réel $\delta >0$ :$$P(|X-E(X)|\ge \delta )\le \frac{V(X)}{{\delta }^2}.$$Ce résultat est admis en terminale. Il majore, sans connaître la loi précise de $X$, la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\delta$ ; c'est une majoration large, souvent bien supérieure à la probabilité réelle.

Exemple : $X\sim \mathcal{B}(20;0,1)$, d'où $E(X)=2$ et $V(X)=20\times 0,1\times 0,9=1,8$. Avec $\delta =2\sigma (X)=2\sqrt{1,8}$ :$$P(|X-2|\ge 2\sqrt{1,8})\le \frac{V(X)}{4V(X)}=\frac{1}{4}.$$Avec $\delta =3\sigma (X)$, le majorant devient $\frac{1}{9}$ ; avec $\delta =4\sigma (X)$, il vaut $0,0625$ : plus on s'éloigne de l'espérance en unités d'écart-type, plus la majoration devient fine.