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Chapitres couverts

Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2022 · Amérique du Nord · Jour 1

2022

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, s'il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.
(1.a)
Lorsqu'il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu'une fois sur 50 alors que, lorsqu'il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.

On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.

On note:
$V$ l'évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;
$R$ l'évènement « Paul rate son train ».
Faire un arbre pondéré résumant la situation.
(1.b)
Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\frac{7}{150}$ .
(1.c)
Loi binomiale7 points
Dans cet exercice, on considère la suite $(T_{n})$ définie par : $T_{0} = 180 et, pour tout entier naturel n, T_{n + 1} = 0, 955 T_{n} + 0, 9$
Les suites7 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ d'unité 1 cm, on considère les points suivants : $J (2; 0; 1), K (1; 2; 1) et L (- 2; - 2; - 2)$
Orthogonalité dans l'espace7 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
(1)
Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1 - \frac{1 - e ^{x}}{1 + e ^{x}} = \frac{2}{1 + e ^{- x}}$ .
Fonction exponentielle7 points

Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.

(2.a)

On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s'est rendu

20

jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.

On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.

On note

X

la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces

20

jours.

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire

X

. Préciser ses paramètres.

(2.b)

Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement

10

jours sur ces

20

jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à

1 0^{- 3}

(2.c)

Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins

10

jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à

1 0^{- 3}

(2.d)

En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l'entier.

(3)

Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note

T

la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de

T

est donnée par le tableau ci-dessous:

k (en minutes) P (T = k) 10 0,14 11 0,13 12 0,13 13 0,12 14 0,12 15 0,11 16 0,10 17 0,08 18 0,07

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire

T

et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

(1.a)
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n} ⩾ 20$ .
(1.b)
Vérifier que pour tout entier naturel $n$ , $T_{n + 1} - T_{n} = - 0, 045 (T_{n} - 20)$ . En déduire le sens de variation de la suite $(T_{n})$ .
(1.c)
Conclure de ce qui précède que la suite $(T_{n})$ est convergente. Justifier.
(2.a)
Pour tout entier naturel $n$ , on pose : $u_{n} = T_{n} - 20$ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(2.b)
En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $T_{n} = 20 + 160 \times 0, 95 5^{n}$ .
(2.c)
Calculer la limite de la suite $(T_{n})$ .
(2.d)
Résoudre l'inéquation $T_{n} ⩽ 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.
(3.a)
Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four.

On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $18 0^{\circ}$ C et celle de l'air ambiant de $2 0^{\circ}$ C.

La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $(T_{n})$ . Plus précisément, $T_{n}$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.

Expliquer pourquoi la limite de la suite $(T_{n})$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.
(3.b)
On considère la fonction Python ci-dessous:
```
def temp(x) :
    T = 180
    n = 0
    while T > x :
        T=0.955*T+0.9
        n=n+1
    return n
```
Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

(1.a)
Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.
(1.b)
Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL en cm $^{2}$ .
(1.c)
Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique $JKL$ .
(2.a)
Démontrer que le vecteur $n$ de coordonnées $63 - 10$ est un vecteur normal au plan (JKL).
(2.b)
En déduire une équation cartésienne du plan (JKL).
(3.a)
Dans la suite, T désigne le point de coordonnées $(10; 9; - 6)$ .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $Δ$ orthogonale au plan (JKL) et passant par T.
(3.b)
Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL).
(3.c)
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : $V = \frac{1}{3} B \times h o \overset{u}{ˋ} B d \overset{e}{ˊ} signe l’aire d’une base et h la hauteur correspondante$ Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm $^{3}$ .

(2)

On considère la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}

.

Affirmation 2 : L'équation

g (x) = \frac{1}{2}

admet une unique solution dans

R

(3)

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{2} e^{- x}

et on note

C

sa courbe dans un repère orthonormé.

Affirmation 3 : L'axe des abscisses est tangent à la courbe

C

en un seul point.

(4)

On considère la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = e^{x} (1 - x^{2})

.

Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction

h

n'admet pas de point d'inflexion.

(5)

Affirmation 5 :

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{e ^{x} + x} = 0

(6)

Affirmation 6 : Pour tout réel

x, 1 + e^{2 x} ⩾ 2 e^{x}