Aperçu de l'épreuve

Questions

Corrigés rédigés

Barème total

Chapitres couverts

Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2022 · Polynésie · Jour 1

2022

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
(1)
On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $] 0; + \infty [$ par : $g (x) = ln (x^{2} + x + 1) .$ Pour tout nombre réel $x$ strictement positif : $a. g^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 1} c. g^{'} (x) = ln (2 x + 1) b. g^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d. g^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1}$
Dérivation7 points
Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :
Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 %$ des cas ;
Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1 %$ des cas.
Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les évènements suivants :
$M$ « la personne est malade » ;
$T$ « le test est positif ».
(1)
Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$ . On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
(2)
Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de 0,0653.
Probabilités conditionnelles et indépendance7 points
Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}$
Les suites7 points
L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :
les points A $(2; - 1; 0)$ , B $(1; 0; - 3)$ , C $(6; 6; 1)$ et E $(1; 2; 4)$ ;
Le plan $P$ d'équation cartésienne $2 x - y - z + 4 = 0$ .
Orthogonalité dans l'espace7 points

(2)

La fonction

x ⟼ ln (x)

admet pour primitive sur

] 0; + \infty [

la fonction :

a. x ⟼ ln (x) b. x ⟼ \frac{1}{x} c. x ⟼ x ln (x) - x d. x ⟼ \frac{ln ( x )}{x}

(3)

On considère la suite

(a_{n})

définie pour tout

n

dans

N

par :

a_{n} = \frac{1 - 3 ^{n}}{1 + 2 ^{n}} .

La limite de la suite

(a_{n})

est égale à :

a. - \infty b. - 1 c. 1 d. + \infty

(4)

On considère une fonction

f

définie et dérivable sur

[- 2; 2]

. Le tableau de variations de la fonction

f^{'}

dérivée de la fonction

f

sur l'intervalle

[- 2; 2]

est donné par :

Figure de l'énoncé (Exercice 1) : tableau de variations ou de signes.

La fonction

f

est :

a. convexe sur [- 2; - 1] c. convexe sur [- 1; 2] b. concave sur [0; 1] d. concave sur [- 2; 0]

(5)

On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée

f^{'}

d'une fonction

f

définie sur l'intervalle

[- 2; 4]

Figure de l'énoncé (Exercice 1) : représentation graphique dans un repère.

Par lecture graphique de la courbe de

f^{'}

, déterminer l'affirmation correcte pour

f

a. f est d \overset{e}{ˊ} croissante sur [0; 2] c. f admet un maximum en 1 sur [0;2] b. f est d \overset{e}{ˊ} croissante sur [- 1; 0] d. f admet un maximum en 3 sur [2; 4]

(6)

Une action est cotée à 57 €. Sa valeur augmente de 3 % tous les mois.

La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 € est :

a.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v < 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v > 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

def seuil() :
    v=57
    for i in range (200) :
        v = v*1.03
    return v

def seuil() :
    m=0
    v=57
    if v < 200 :
        m=m+1
    else :
        v = v*1.03
    return m

(3)

Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître

P_{M} (T)

P_{T} (M)

(4)

On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.

Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à

1 0^{- 2}

près.

(5.a)

On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note

X

la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par

X

(5.b)

Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à

1 0^{- 2}

près.

(6)

Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, soit supérieure à

99 %

(1.a)
Calculer les termes $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ . On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
(1.b)
Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste( $k$ ) prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $(u_{n})$ de $u_{0}$ à $u_{k}$ .
```
1. def liste(k) :
2.         L = []
3.         u = ...
4.         for i in range(0, k+1) :
5.             L.append(u)
6.             u = ...
7.         return(L)
```
(2)
On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ est strictement positif.

Déterminer le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
(3)
En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.
(4)
Déterminer la valeur de sa limite.
(5.a)
Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
(5.b)
Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

(1.a)
Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
(1.b)
Calculer le produit scalaire $BA \cdot BC$ puis les longueurs BA et BC.
(1.c)
En déduire la mesure en degrés de l'angle $ABC$ arrondie au degré.
(2.a)
Démontrer que le plan $P$ est parallèle au plan ABC.
(2.b)
En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
(2.c)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ orthogonale au plan ABC et passant par le point E.
(2.d)
Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées $(4; \frac{1}{2}; \frac{5}{2})$ .
(3)
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $V = \frac{1}{3} B h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.

Calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à $16, 5$ unités de volume.