Bac 2023 · Amérique du Nord · Jour 1

Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.

Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.

Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à 0,9999.

Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.

Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $g^{\prime }$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g^{\prime }(x)=6{\mathrm{e}}^{2x}-2$.

Étudier le signe de la fonction dérivée $g^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3)-2$.

Montrer que $x=0$ est solution de l'équation $g(x)=0$.

Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.

Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x}g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A.

En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f^{\prime }$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Pourquoi la fonction $f$ n'est-elle pas convexe sur $\mathbb{R}$ ? Expliquer.

ABC est un triangle :$$\begin{array}{cccc}\text{a.}& \text{isoceˋle rectangle en A}& \text{b.}& \text{isoceˋle rectangle en B}\\ \text{c.}& \text{isoceˋle rectangle en C}& \text{d.}& \text{eˊquilateˊral}\end{array}$$

Une équation cartésienne du plan (BCD) est :$$\begin{array}{cccc}\text{a.}& 2x+y+z-15=0& \text{b.}& 9x-5y+3=0\\ \text{c.}& 4x+y+z-21=0& \text{d.}& 11x+5z-73=0\end{array}$$

On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2y-2z+15=0$.

On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

On peut affirmer que :$$\begin{array}{cccc}\text{a.}& \text{H}(-2;17;12)& \text{b.}& \text{H}(3;7;2)\\ \text{c.}& \text{H}(3;2;7)& \text{d.}& \text{H}(-15;1;-1)\end{array}$$

Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=3-t\\ z=-1+3t\end{array}$, avec $t$ réel.

Les droites (BC) et $\Delta$ sont :$$\begin{array}{cccc}\text{a.}& \text{confondues}& \text{b.}& \text{strictement paralleˋles}\\ \text{c.}& \text{seˊcantes}& \text{d.}& \text{non coplanaires}\end{array}$$

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-y+2z-6=0$.

On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2y-2z+15=0$.

On peut affirmer que :$$\begin{array}{cc}\text{a.}& \text{les plans }\mathcal{P}\text{ et (ABC) sont strictement paralleˋles}\\ \text{b.}& \text{les plans }\mathcal{P}\text{ et (ABC) sont seˊcants et leur intersection est la droite (AB)}\\ \text{c.}& \text{les plans }\mathcal{P}\text{ et (ABC) sont seˊcants et leur intersection est la droite (AC)}\\ \text{d.}& \text{les plans }\mathcal{P}\text{ et (ABC) sont seˊcants et leur intersection est la droite (BC)}\end{array}$$

Donner $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)$$Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty \right[$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $:u_n⩾u_{n+1}⩾\sqrt{11}$.

En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.

Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.

Expliquer pourquoi ${\ell }_0=2,2$.

Établir que pour tout entier naturel $n$,$${\ell }_n=\frac{11}{L_n}.$$