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Chapitres couverts

Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2023 · Nouvelle-Calédonie · Jour 2

2023

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.

On note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé $(A; AD, AB, AE)$ .
Orthogonalité dans l'espace5 points
On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty [$ par: $f (x) = x e^{- x} .$ On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0; + \infty [$ .

On note $f^{'}$ sa dérivée et $f^{''}$ sa dérivée seconde.
Dérivation5 points
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1} = \frac{- u _{n} - 4}{u _{n} + 3} .$ On admet que $u_{n}$ est défini pour tout entier naturel $n$ .
Les suites5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.

L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d'un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous. $Filles Gar \overset{c}{¸} ons Total Aviron 255075 Basket 8045125 Total 10595200$ On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants:
$F$ : l'adhérent est une fille ;
$A$ : l'adhérent pratique l'aviron.
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points

(1)
Justifier que les points C, F et K définissent un plan.
(2.a)
Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.
(2.b)
Calculer l'aire du triangle FGC.
(2.c)
Calculer le volume du tétraèdre FGCK.
(3.a)
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par: $V = \frac{1}{3} B \times h,$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

On note $n$ le vecteur de coordonnées $121$ .

Démontrer que $n$ est normal au plan (CFK).
(3.b)
En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est: $x + 2 y + z - 3 = 0.$
(4)
On note $Δ$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK).

Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $Δ$ est: $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = 1 + t 1 + 2 t 1 + t (t \in R))$
(5.a)
Soit L le point d'intersection entre la droite $Δ$ et le plan (CFK).

Déterminer les coordonnées du point L.
(5.b)
En déduire que LG $= \frac{6}{6}$ .
(6)
En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.

(1)
En remarquant que pour tout $x$ dans $[0; + \infty [$ , on a $f (x) = \frac{x}{e ^{x}} .$ démontrer que la courbe $C_{f}$ possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.
(2)
Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0; + \infty [$ : $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x} .$
(3)
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0; + \infty [$ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
(4)
Déterminer, sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , le nombre de solutions de l'équation $f (x) = \frac{367}{1 000} .$
(5)
On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0; + \infty [$ : $f^{''} (x) = e^{- x} (x - 2) .$ Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
(6.a)
Soit $a$ un réel appartenant à $[0; + \infty [$ et A le point de la courbe $C_{f}$ d'abscisse $a$ .

On note $T_{a}$ la tangente à $C_{f}$ en A.

On note H $_{a}$ le point d'intersection de la droite $T_{a}$ et de l'axe des ordonnées.

On note $g (a)$ l'ordonnée de H $_{a}$ .

La situation est représentée sur la figure ci-contre.
(6.b)
En déduire l'expression de $g (a)$ .
(6.c)
Démontrer que $g (a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ .

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

(1)
Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$ .
(2)
On considère la fonction $terme$ ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
```
def terme (n) :
    u = ...
    for i in range(n):
        u = ...
    return(u)
```
$On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que i varie de 0 \overset{a}{ˋ} n - 1 .$ Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$ , l'instruction $terme (n)$ renvoie la valeur de $u_{n}$ .
(3)
Soit la fonction $f$ définie sur $] - 3; + \infty [$ par: $f (x) = \frac{- x - 4}{x + 3} .$ Ainsi, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $] - 3; + \infty [$ .
(4)
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $- 2 < u_{n + 1} ⩽ u_{n} .$
(5)
En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.
(6.a)
Soit la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_{n} = \frac{1}{u _{n} + 2} .$ Donner $v_{0}$ .
(6.b)
Démontrer que la suite $(v_{n})$ est arithmétique de raison 1.
(6.c)
En déduire que pour tout entier naturel $n ⩾ 1 :$ $u_{n} = \frac{1}{n + 0 , 5} - 2.$
(6.d)
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

(1)
La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à : $a. \frac{25}{100} b. \frac{25}{75} c. \frac{25}{105} d. \frac{75}{105}$
(2)
La probabilité de l'évènement $A \cup F$ est égale à : $a. \frac{9}{10} b. \frac{1}{8} c. \frac{31}{40} d. \frac{5}{36}$
(3)
L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.
La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$ .

La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$ .

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

La probabilité $p_{1}$ que le bus ou le train soient en panne est égale à : $a. p_{1} = b t b. p_{1} = 1 - b t c. p_{1} = b + t d. p_{1} = b + t - b t$
(4)
La probabilité $p_{2}$ qu'Albert puisse se rendre à son travail est égale à : $a. p_{2} = b t b. p_{2} = 1 - b t c. p_{2} = b + t d. p_{2} = b + t - b t$
(5)
On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir FACE est égale à $x$ .

On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité $p$ d'obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à $a. p = x^{n} b. p = (1 - x)^{n} c. p = 1 - x^{n} d. p = 1 - (1 - x)^{n}$