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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2024 · Amérique du Sud · Jour 2

2024

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:
Source : https://fr.statista.com/statistiques/656036/groupes-sanguins-repartition-rh-france/

A+, O+, B+, A $-$ , O $-$ , AB+, B $-$ et AB $-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type :

$A$ + est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + »

$A -$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ »

$A$ est l'évènement « la personne est de groupe sanguin A »

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points
Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.
Partie 1
On considère la suite $(u_{n})$ définie par:

$u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n, u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2$ .
Les suites5 points
Partie 1
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $R$ par : $f (x) = (x^{2} - 4) e^{- x} .$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f^{'}$ sa fonction dérivée.
Calcul intégral5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

On considère les trois points A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 2).
Orthogonalité dans l'espace5 points

Partie 1

On note

R h

+ l'évènement « La personne est de rhésus positif ».

(1.1)
Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.
(1.2)
Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{R h +} (A) = 0, 450$ à 0,001 près.
(1.3)
Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.

Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à

0, 001

près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5 % de la population française est de groupe O

-

(2.1.a)
On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.

Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
(2.1.b)
On considère la fonction ci-dessous nommée $proba$ d'argument k écrite en langage Python.
```
def proba(k):
    p=0
    for i in range(k+1):
        p = p + binomiale(i,50,0.065)
    return p
```
Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i, n$ et $p$ , créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P (X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction $proba$ lorsqu'on saisit $proba(8)$ dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
(2.2)
Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0, 999$ .

(1.1)
Affirmation 1 : La suite $(u_{n})$ est décroissante minorée par 0.
(1.2)
Affirmation 2 : $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
(1.3)
Affirmation 3 : La suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 3$ est géométrique.

Partie 2

On considère l'équation différentielle

(E) : y^{'} = \frac{3}{2} y + 2

d'inconnue

y

, fonction définie et dérivable sur

R

(2.1)
Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle (E).
(2.2)
Dans un repère orthonormé $(O; , )$ on note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f (0) = 0$ .
(2.3)
Affirmation 5 : La tangente au point d'abscisse 1 de $C_{f}$ a pour coefficient directeur $2 e^{\frac{3}{2}}$ .

(1.1)
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
(1.2)
Justifier que pour tout réel $x, f^{'} (x) = (- x^{2} + 2 x + 4) e^{- x}$ .
(1.3)
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $R$ .

Partie 2

On considère la suite

(I_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

I_{n} = \int_{- 2}^{0} x^{n} e^{- x} d x

(2.1)
Justifier que $I_{0} = e^{2} - 1$ .
(2.2)
En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : $I_{n + 1} = (- 2)^{n + 1} e^{2} + (n + 1) I_{n} .$

Partie 3

(3.1)
Déterminer le signe sur $R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
(3.2)
On a représenté ci-contre la courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; , )$ .
Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$ .

Figure de l'énoncé (Exercice 4) : figure de géométrie.

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC »,

Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)

(1.1)
Démontrer que le vecteur $n (2; 3; 3)$ est normal au plan (ABC).
(1.2)
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2 x + 3 y + 3 z - 6 = 0$ .
(1.3)
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par O et de vecteur directeur $n$ .
(1.4)
On note H le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC).

Déterminer les coordonnées du point H.
(1.5)
En déduire que la distance du point O au plan (ABC) est égale à $\frac{3 22}{11}$

Partie 2 : Démonstration de la propriété

(2.1)
Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2.
(2.2)
En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à $22$ .
(2.3)
Démontrer que pour le tétraèdre OABC, « le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.

(2.3)

En déduire les valeurs exactes de

I_{1}

et de

I_{2}