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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2025 · Centres étrangers · Jour 2

2025

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1ᵉʳ janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.
Partie A
Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_{n})$ de premier terme $u_{0} = 6$ et de raison $0, 93$ .

Pour tout entier naturel $n, u_{n}$ représente la population au 1ᵉʳ janvier de l'année $2025 + n$ , exprimée en millier d'individus.
Les suites6 points
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $f (x) = \frac{1}{a + e ^{- b x}}$ où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $C_{f}$ ci-dessous :
Dérivation6 points
Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.
(A.1)
Déterminer le nombre de séquences possibles.
(A.2)
Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
(A.3.a)
Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
(A.3.b)
En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
(A.3.c)
Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
(A.3.d)
Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
Combinatoire et dénombrement4 points
On se place dans un repère orthonormé $(O; , , k)$ de l'espace.

On considère les points A(1 ; 0 ; 3), B $(- 2; 1; 2)$ et C(0 ; 3 ; 2).
Orthogonalité dans l'espace4 points

(A.1)
Donner, selon ce modèle, la population au 1ᵉʳ janvier 2026.
(A.2)
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
(A.3)
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 6

et pour tout entier naturel

n, v_{n + 1} = - 0, 05 v_{n}^{2} + 1, 1 v_{n}

.

Pour tout entier naturel

n, v_{n}

représente la population au 1ᵉʳ janvier de l'année

2025 + n

, exprimée en millier d'individus.

(B.1)
Donner, selon ce modèle, la population au 1ᵉʳ janvier 2026.
(B.2)
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 1 x .$ Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 11].

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

(C.1)
En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.
(C.2)
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.
(C.3)
Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
(C.4.a)
On considère le programme Python ci-contre.
```
n=0
u = 6
v = 6
while ... :
    u = ...
    v= ...
    n = n+1
print (2025 + n)
```
Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
(C.4.b)
Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

Figure de l'énoncé (Exercice 2) : représentation graphique dans un repère.

On considère les points A(0 ; 0,5) et B(10 ; 1).

On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe

C_{f}

au point A.

(A.1)
Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f (10)$ .
(A.2)
On admet que $x \to + \infty lim f (x) = 1$ .

Donner une interprétation graphique de ce résultat.
(A.3)
Justifier que $a = 1$ .
(A.4)
Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
(A.5.a)
Déterminer l'expression de $f^{'} (x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$ .
(A.5.b)
En déduire la valeur de $b$ .

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction

f

est définie sur l'intervalle

[0; + \infty [

par :

f (x) = \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}}

(B.1)
Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ .
(B.2)
Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
(B.3)
Montrer qu'il existe un unique réel $α$ positif tel que $f (α) = 0, 97$ .
(B.4)
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $α$ par deux nombres entiers consécutifs.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

(C.1)
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f (x) = \frac{e ^{0, 2 x}}{1 + e ^{0, 2 x}}$ .
(C.2)
En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
(C.3)
Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 40], c'est-à-dire: $I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}} d x .$ On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note X la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

(B.1)
On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
(B.2)
Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $1 0^{- 3}$ près.
(B.3)
Que pensez-vous de l'affirmation suivante: « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

(C)
On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ et $X_{4}$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.

On admet que les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ et $X_{4}$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} .$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$ .

(1.a)
Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
(1.b)
Soit $n$ le vecteur de coordonnées $- 1 14$ Vérifier que le vecteur $n$ est orthogonal au plan (ABC).
(1.c)
En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

$- x + y + 4 z - 11 = 0$ .
(2.a)
On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $3 x - 3 y + 2 z - 9 = 0$ et le plan $P^{'}$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$ .

Démontrer que les plans $P$ et $P^{'}$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
(2.b)
Déterminer si les plans $P$ et $P^{'}$ sont perpendiculaires.
(3)
Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $u 110$ .
(4)
Montrer que le point M(2 ; 1 ; 3) appartient aux plans $P$ et $P^{'}$ . En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$ .
(5)
Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan (ABC).

Que peut-on dire des trois plans (ABC), $P$ et $P^{'}$ ?

(B.3)

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

, on a

2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6.

(B.4)

En déduire que la suite

(v_{n})

est convergente vers une limite

ℓ

(B.5.a)

Justifier que la limite

ℓ

vérifie

f (ℓ) = ℓ

puis en déduire la valeur de

ℓ

(B.5.b)

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Aperçu de l'épreuve

Partie A

Partie A

Partie A

Partie B

Partie C

Partie B

Partie C

Partie B

Partie C