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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2025 · Nouvelle-Calédonie · Jour 1

2025

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

On dispose d’un sac et de deux urnes A et B.
Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
L’urne A contient 5 billets : 3 billets de $50$ euros et 2 billets de $10$ euros.
L’urne B contient 4 billets : 1 billet de $50$ euros et 3 billets de $10$ euros.
Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :
si c’est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l’urne A.
si c’est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l’urne B.
On note les évènements suivants :
$A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
$C$ : le joueur obtient un billet de 50 euros.
(1)
Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
(2)
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points :

A $(4; - 4; 4)$ , B $(5; - 3; 2)$ , C $(6; - 2;; 3)$ , D(5 ; 1 ; 1)
Orthogonalité dans l'espace4 points
On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par : $f_{n} (x) = x^{n} e^{1 - x} .$ On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $[0; 1]$ et on note $f_{n}^{'}$ sa fonction dérivée.
Les suites6 points
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
(1)
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = ln (x) - x^{2} .$ Affirmation 1 : $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .
Les suites5 points

Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de $50$ € » ?

(3)

Démontrer que la probabilité

P (C)

est égale à 0,3375.

(4)

Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

L'affirmation « Il y a plus de $80 %$ de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.

(5)

On note

X_{1}

la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

Exemple : si le joueur obtient un billet de

50

€, on a

X_{1} = 50

.

Montrer que l'espérance

E (X_{1})

est égale à

23, 50

et que la variance

V (X_{1})

est égale à

357, 75

(6.a)

Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note

X_{2}

la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

On note

Y

la variable aléatoire ainsi définie :

Y = X_{1} + X_{2}

.

Montrer que

E (Y) = 47

(6.b)

Expliquer pourquoi on a

V (Y) = V (X_{1}) + V (X_{2})

(7)

Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,…, une centième partie.

On définit donc de la même façon les variables aléatoires

X_{3}, X_{4}, \dots, X_{100}

.

On note

Z

la variable aléatoire définie par

Z = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{100}

.

Démontrer que la probabilité que

Z

appartienne à l'intervalle

] 1950; 2750 [

est supérieure ou égale à

0, 75

(1)
Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $B$ .
(2)
Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x - y - 8 = 0.$
(3.a)
On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan (ABC).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ .
(3.b)
On note H le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(A B C)$ .

Déterminer les coordonnées du point H.
(3.c)
Montrer que DH $= 22$ .
(4.a)
Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$ .

On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.
(4.b)
On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\frac{42}{2}$ .

En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où

n = 1

.

On étudie donc la fonction

f_{1}

définie sur

[0; 1]

par :

f_{1} (x) = x e^{1 - x} .

(A.1)
Montrer que $f_{1}^{'} (x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0; 1 [$ .
(A.2)
En déduire le tableau de variations de la fonction $f_{1}$ sur l'intervalle $[0; 1]$

Partie B

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

non nul par

u_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x

c'est-à-dire

u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x

.

On admet que

u_{1} = e - 2

(B.1.a)
Justifier que pour tout $x \in [0; 1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n}$ .
(B.1.b)

(2)

On considère l’équation différentielle

(E) : - 2 y^{'} + 3 y = sin x + 8 cos x .

On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = 2 cos x - sin x .

Affirmation 2 : La fonction

f

est solution de l’équation différentielle

(E)

(3)

On considère la fonction

g

définie sur l’intervalle

] 0; + \infty [

par :

g (x) = ln (3 x + 1) + 8.

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 25

et pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = g (u_{n}) .

On admet que la suite

(u_{n})

est strictement positive.

Affirmation 3 : La suite

(u_{n})

est décroissante.

(4)

On considère une fonction affine

h

définie sur

R

.

On note

k

la fonction définie sur

R

par

k (x) = x^{4} + x^{2} + h (x)

.

Affirmation 4 : La fonction

k

est convexe sur

R

(5)

Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

Exemple : le mot BAC est possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.

(A.3)

En déduire que l'équation

f_{1} (x) = 0, 1

admet une unique solution dans l'intervalle

[0; 1]

En déduire que pour tout entier naturel

n

non nul,

0 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} .

(B.1.c)

Montrer que la suite

(u_{n})

est convergente.

(B.2.a)

À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel

n

non nul on a :

u_{n + 1} = (n + 1) u_{n} - 1.

(B.2.b)

On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction

suite()

from math import exp

def suite():
    u = ...
    for n in range (1, ...):
        u = ...
    return

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction

suite()

renvoie la valeur de

\int_{0}^{1} x^{8} e^{1 - x} d x

(B.3.a)

Démontrer que pour tout entier naturel

n

non nul on a :

u_{n} ⩽ \frac{e}{n + 1} .

(B.3.b)

En déduire la limite de la suite

(u_{n})