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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2026 · Amérique du Nord · Jour 2

2026

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que :
91 % du stock de tomates est commercialisable ;
60 % du stock de tomates provient du fournisseur A ;
parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.
On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :
$A$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur A » ;
$B$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur B » ;
$C$ l'évènement « La tomate est commercialisable ».
Pour un évènement quelconque $E$ , on note $P (E)$ la probabilité de $E$ .
Partie A
(A.1)
Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.
Loi binomiale4 points
Partie A : étude du sens de variation d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$
Les suites6 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

On considère :
les points A(4 ; 2 ; 2), B $(5; - 2; 3)$ et C(1 ; 1 ; 1) ;
la droite $Δ$ dont une représentation paramétrique est donnée par $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = 1 + 2 t 1 + 2 t 1 + 2 t avec t \in R$
le plan $P$ contenant le point A et perpendiculaire à la droite $Δ$ .
Orthogonalité dans l'espace5 points
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x (ln x)^{2} .$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ . On note $f^{'}$ sa fonction dérivée.
Dérivation5 points

Partie B

On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

(B.1.a)
On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
(B.1.b)
Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.

On donnera la valeur arrondie au millième.
(B.1.c)
Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.

On donnera la valeur arrondie au millième.
(B.2.a)
On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On note $X_{n}$ , la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_{n}$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

On a donc $F_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ .

On admet que la variable aléatoire $X_{n}$ , suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0, 09$ .

Calculer l'espérance $E (F_{n})$ et exprimer la variance $V (F_{n})$ en fonction de $n$ .
(B.2.b)
Démontrer que $P (0, 04 < F_{n} < 0, 14) ⩾ 1 - \frac{32 , 76}{n}$ .
(B.2.c)
Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables.

Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes

Pour tout entier naturel

n

non nul, on pose

S_{n} = u_{0}^{2} + u_{1}^{2} + \dots + u_{n - 1}^{2}

(C.1)
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $(S_{n})$ .
```
from math import*

def termes(p) :
    u = ...
    S=0
    L= [ ]
    for i in range(p) :
        S=...
        u= ...
        L.append(S)
    return L
```
Remarque : on rappelle qu'en langage Python,
- la commande L= [ ] crée une liste vide ;
- la commande L.append (S) ajoute, à la fin de la liste L, l'élément supplémentaire S.
(C.2)
On rappelle que, pour tout entier naturel $k$ , on a $1 ⩽ u_{k} ⩽ 3$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n ⩽ S_{n} ⩽ 3 n$ .

(1)
Vérifier que la droite $Δ$ contient le point C(1 ; 1 ; 1) mais pas le point A.
(2.a)
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $2 x + y + 2 z - 14 = 0$ .
(2.b)
Vérifier que le plan $P$ contient le point B mais pas le point C.
(3.a)
On considère le point D(3 ; 2 ; 3).

Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan $P$ .
(3.b)
Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
(3.c)
Calculer le produit scalaire $AB \cdot AD$ .
(3.d)
Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.
(4.a)
On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

Vérifier que les coordonnées du point H sont $(\frac{73}{29}; \frac{- 4}{29}; \frac{51}{29})$ .
(4.b)
Démontrer que l'aire du triangle ABC est $\frac{3 22}{2}$ .
(4.c)
En déduire la distance du point D au plan (ABC).

(1)
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
(2.a)
Pour tout réel $x > 0$ , on pose $g (x) = x ln x$ .

Démontrer que pour tout réel $x > 0$ , on a $f (x) = 4 (g (x))^{2}$ .
(2.b)
En déduire $x \to 0 lim f (x)$ .
(3.a)
Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

Démontrer que sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = (ln x) (2 + ln x)$ .
(3.b)
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
(3.c)
Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; 1]$ .
(4.a)
On considère l'équation $f (x) = 2$ .

Justifier que, sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , cette équation admet une unique solution.

On note $α$ cette solution.
(4.b)
Donner un encadrement de $α$ d'amplitude 0,1.
(5.a)
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 1].

Donner une interprétation géométrique de $\int_{a}^{1} f (x) d x$ .
(5.b)
À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : $\int_{a}^{1} f (x) d x = - \frac{a ^{2}}{2} (ln a)^{2} - \int_{a}^{1} x ln x d x .$
(5.c)
En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que : $\int_{a}^{1} f (x) d x = - \frac{a ^{2}}{2} (ln a)^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln a + \frac{1}{4} - \frac{a ^{2}}{4} .$
(5.d)
Déterminer la limite de $\int_{a}^{1} f (x) d x$ quand $a$ tend vers 0.

Aperçu de l'épreuve

Partie A

Partie A : étude du sens de variation d'une fonction

Partie B

Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente

Partie C : étude de la convergence de la somme de termes