Bac 2026 · Polynésie · Jour 2

Dans cette partie, on considère un entier naturel $n$ non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie $n$ filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à $0,15$.

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 1 à 10.

On considère $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1 500 lycéennes de l'académie n° 1, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.

On définit de la même façon les variables aléatoires $X_2,\dots ,X_{10}$ pour les académies 2 à 10.

On admet que les variables aléatoires $X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à $225$ et la même variance égale à $191,25$.

On considère la variable aléatoire $S=X_1+X_2+\cdots +X_{10}$.

On admet qu'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

Dans cette partie, on admet que $8,4⩽\alpha ⩽8,5$.

On a créé, en langage Python, la fonction $\text{alpha}$ suivante.

def f(x) :
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

On précise qu'en langage Python, l'instruction $\text{log}$ correspond à $\ln$.