Fonction exponentielle

Point clé : pour tout réel $x$, $e^x>0$. Un facteur exponentiel ne modifie donc jamais le signe d'un produit ou d'un quotient : il peut être ignoré pour l'étude du signe.

Méthode

1. Factoriser ou écrire l'expression étudiée comme un produit ou un quotient dans lequel figure un facteur $e^{u(x)}$.
2. Écarter ce facteur, toujours strictement positif, du raisonnement sur le signe.
3. Étudier le signe des facteurs restants (le plus souvent une expression affine ou polynomiale) pour conclure sur le signe global.

*Exemple :* Étudier le signe de $f(x)=(x+2)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

Comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $(x+2)$ :

- $x+2<0$, c'est-à-dire $x<-2$ : $f(x)<0$.
- $x+2=0$, c'est-à-dire $x=-2$ : $f(x)=0$.
- $x+2>0$, c'est-à-dire $x>-2$ : $f(x)>0$.