Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques du logarithme népérien

Pour tous réels $a,b>0$ et tout entier relatif $n$ :$$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln (a)\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$$$$\ln (a^n)=n\ln (a)\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln (a)$$

Valeurs particulières : $\ln (1)=0$, $\ln (e)=1$.

Méthode : pour calculer ou simplifier une expression logarithmique, on regroupe les termes pour faire apparaître un seul logarithme, en utilisant ces règles comme on le ferait avec des puissances.

*Exemple :* $B=3\ln (2)+\ln (5)-2\ln (3)=\ln (2^3)+\ln (5)-\ln (3^2)=\ln \left(\frac{8\times 5}{9}\right)=\ln \left(\frac{40}{9}\right)$.

*Exemple :* $C=\ln (e^2)-\ln \left(\frac{2}{e}\right)=2-(\ln (2)-\ln (e))=2-\ln (2)+1=3-\ln (2)$.