Bac 2022 · Centres étrangers groupe 1 · Jour 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=4\ln (3x)$.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$ , on a :$$\begin{array}{cc}\text{a. }f(2x)=f(x)+\ln (24)& \text{b. }f(2x)=f(x)+\ln (16)\\ \text{c. }f(2x)=\ln (2)+f(x)& \text{d. }f(2x)=2f(x)\end{array}$$

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1;+\infty [$ par :$$g(x)=\frac{\ln (x)}{x-1}.$$On note ${\mathcal{C}}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe ${\mathcal{C}}_g$ admet :$$\begin{array}{cc}\text{a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.}& \text{b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.}\\ \text{c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.}& \text{d. aucune asymptote verticale .et aucune asymptote horizontale.}\end{array}$$

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2] par:$$h(x)=x^2[1+2\ln (x)].$$On note ${\mathcal{C}}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.

On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2].

On note $h^{\prime }$ sa dérivée et $h^{\prime \prime }$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 2], on a :$$h^{\prime }(x)=4x(1+\ln (x)).$$Sur l'intervalle $\left]\frac{1}{\text{e}};2\right]$, la fonction $h$ s'annule :$$\begin{array}{cc}\text{a. exactement 0 fois.}& \text{b. exactement 1 fois.}\\ \text{c. exactement 2 fois.}& \text{d. exactement 3 fois.}\end{array}$$

Une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est:$$\begin{array}{cc}\text{a. }y=\left(6{\text{e}}^{\frac{1}{2}}\right).x& \text{b. }y=\left(6\sqrt{\text{e}}\right).x+2\text{e}\\ \text{c. }y=6{\text{e}}^{\frac{x}{2}}& \text{d. }y=\left(6{\text{e}}^{\frac{1}{2}}\right).x-4\text{e}\text{.}\end{array}$$

Sur l'intervalle ]0 ; 2], le nombre de points d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_h$ est égal à :$$\begin{array}{cccc}\text{a. 0}& \text{b. 1}& \text{c. 2}& \text{d. 3}\end{array}$$

(Uniquement au Liban) On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3\text{et}{u}_0=6.$$On peut affirmer que :$$\begin{array}{cc}\text{a. la suite }\left(u_n\right)\text{ est strictement croissante.}& \text{b. la suite }\left(u_n\right)\text{ est strictement deˊcroissante.}\\ \text{c. la suite }\left(u_n\right)\text{ n’est pas monotone.}& \text{d. la suite }\left(u_n\right)\text{ est constante.}\end{array}$$

On rappelle que $f$ vérifie la relation $\ell =f(\ell )$.

Démontrer que $\ell =4$.

On considère la fonction $\text{valeur}$ écrite ci-contre dans le langage Python :

def valeur (a) :
    u = 0
    n = 0
    while u <= a:
        u=1 + u - exp(0.5*u - 2)
        n = n+1
    return n

L'instruction $\text{valeur}$(3.99) renvoie la valeur 12.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.