Primitives et équations différentielles

Pour vérifier qu'une fonction $g$ donnée est solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ : 1) justifier que $g$ est dérivable sur $I$ et calculer $g^{\prime }(x)$, 2) remplacer $y$ par $g(x)$ et $y^{\prime }$ par $g^{\prime }(x)$ dans les deux membres de l'équation, puis réduire chaque membre séparément (pour $y^{\prime }=ay+f$ : d'un côté $g^{\prime }(x)$, de l'autre $ag(x)+f(x)$), 3) conclure : si les deux membres sont égaux pour tout $x\in I$, $g$ est solution de l'équation sur $I$ ; s'ils diffèrent pour une seule valeur de $x$ de $I$, elle ne l'est pas. Une ressemblance des expressions, ou une égalité constatée en un seul point, ne prouve rien. Exemple : $g(x)=(x+1)e^{2x}$ est solution de $y^{\prime }=2y+e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$, car $g^{\prime }(x)=e^{2x}+2(x+1)e^{2x}=(2x+3)e^{2x}$ et $2g(x)+e^{2x}=(2x+2)e^{2x}+e^{2x}=(2x+3)e^{2x}$ pour tout réel $x$.