Probabilités conditionnelles et indépendance

Partition de l'univers : Des événements $A_1,A_2,\dots ,A_n$ (de probabilités non nulles) forment une partition de l'univers si :
- ils sont deux à deux incompatibles ($A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\ne j$) ;
- leur réunion est l'univers tout entier ($A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$).

Le cas le plus fréquent en première est la partition à deux éléments $A$ et $\bar{A}$, donnée par le 1er niveau d'un arbre pondéré.

Formule des probabilités totales : Pour tout événement $B$,$$P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+\cdots +P(A_n)\times P_{A_n}(B)$$soit, dans le cas d'une partition en deux :$$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$$

Méthode :
1. Identifier une partition de l'univers adaptée au problème (souvent les branches du 1er niveau de l'arbre).
2. Pour chaque élément $A_i$ de la partition, repérer $P(A_i)$ et $P_{A_i}(B)$.
3. Sommer les produits $P(A_i)\times P_{A_i}(B)$.

Exemple : Un stock provient de trois fournisseurs $F_1$ (50 %), $F_2$ (30 %) et $F_3$ (20 %) ; leurs taux de pièce défectueuse sont respectivement 2 %, 3 % et 5 %. Soit $D$ : « la pièce est défectueuse ».$$P(D)=0,5\times 0,02+0,3\times 0,03+0,2\times 0,05=0,01+0,009+0,01=0,029$$La probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock soit défectueuse est de 2,9 %.