Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Pour vérifier qu'un point $M_0(x_1,y_1,z_1)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$, on substitue ses coordonnées : $M_0\in \mathcal{P}$ si et seulement si $a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d=0$.

Pour déterminer l'équation cartésienne d'un plan connu par un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ et un point $A(x_0,y_0,z_0)$, on part de la forme $ax+by+cz+d=0$ et on détermine $d$ en imposant que $A$ vérifie l'équation : $d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)$.

Cette double lecture, tester un point ou retrouver $d$, est le prérequis systématique de toute étude d'intersection avec une équation de plan.