Bac 2022 · Centres étrangers groupe 1 · Jour 2

Les évènements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

On choisit au hasard un échantillon de $15$ salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.

On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.

Soit $n$ un entier naturel.

On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.

Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

On note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f^{\prime }$.

On a tracé ci-contre la courbe $\Gamma$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n+1}$.

On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est :$$\begin{array}{cc}\text{a. majoreˊe et non minoreˊe.}& \text{b. minoreˊe et non majoreˊe.}\\ \text{c. borneˊe.}& \text{d. non majoreˊe et non minoreˊe.}\end{array}$$

Soit $k$ un nombre réel non nul.

Soit $\left(v_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.

On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n\times v_{n+1}<0$.

On peut affirmer que $v_{10}$ est :$$\begin{array}{cc}\text{a. positif.}& \text{b. neˊgatif.}\\ \text{c. du signe de }k\text{.}& \text{d. du signe de }-k\text{.}\end{array}$$

On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :$$w_{n+1}=2w_n-4\text{et}{w}_2=8.$$On peut affirmer que:$$\begin{array}{cc}\text{a. }{w}_0=0& \text{b. }{w}_0=5\text{.}\\ \text{c. }{w}_0=10\text{.}& \text{d. Il n’est pas possible de calculer }{w}_0\text{.}\end{array}$$

(Cette question ne fait pas partie du sujet donné à Madagascar) On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :$$a_{n+1}=\frac{{\text{e}}^n}{{\text{e}}^n+1}{a}_n\text{et}{a}_0=1.$$On peut affirmer que :$$\begin{array}{cc}\text{a. la suite }\left(a_n\right)\text{ est strictement croissante.}& \text{b. la suite }\left(a_n\right)\text{ est strictement deˊcroissante.}\\ \text{c. la suite }\left(a_n\right)\text{ n’est pas monotone.}& \text{d. la suite }\left(a_n\right)\text{ est constante.}\end{array}$$

Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite.

On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules.

On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4 000 cellules.

On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :$$\begin{array}{cc}\text{a. moins d’une minute.}& \text{b. 12 minutes.}\\ \text{c. 20 minutes.}& \text{d. 1 heure.}\end{array}$$

Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a $x{\text{e}}^{-x}<1$.

En déduire le tableau de variation de $f$ sur ]0 ; 1].

Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à ]0 ; 1] tel que $f(\ell )=0$.