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Barème total

Chapitres couverts

Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2022 · Centres étrangers · Jour 1

2022

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
(1)
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f (x) = ln (1 + x^{2})$ .

Sur $R$ , l'équation $f (x) = 2022$ $a. n’admet aucune solution. c. admet exactement deux solutions. b. admet exactement une solution. d. admet une infinit \overset{e}{ˊ} de solutions.$
Fonction logarithme népérien7 points
Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points : $A (2; 0; 3), B (0; 2; 1), C (- 1; - 1; 2) et D (3; - 3; - 1) .$
Orthogonalité dans l'espace7 points
Partie A
Soit $h$ la fonction définie sur $R$ par $h (x) = e^{x} - x$
(A.1)
Déterminer les limites de $h$ en $- \infty$ et $+ \infty$ .
(A.2)
Les suites7 points
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.
Partie A
On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

On désigne par $A$ l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».

On désigne par $B$ l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».

On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$ .

Une étude a montré que :
la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P (A)$ est égale à 0,1.
la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P (B)$ est égale à 0,2.
la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est $0, 75$ .
Probabilités conditionnelles et indépendance7 points

(2)

Soit la fonction

g

définie pour tout réel

x

strictement positif par:

g (x) = x ln (x) - x^{2}

On note

C_{g}

sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La fonction g est convexe sur] 0; + \infty [. c. La courbe C_{g} admet exactement un point d’inflexion sur] 0; + \infty [. b. La fonction g est concave sur] 0; + \infty [. d. La courbe C_{g} admet exactement deux points d’inflexion sur] 0; + \infty [.

(3)

On considère la fonction

f

définie sur

] - 1; 1 [

par

f (x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}

Une primitive de la fonction

f

est la fonction

g

définie sur l'intervalle

] - 1; 1 [

par :

a. g (x) = - \frac{1}{2} ln (1 - x^{2}) c. g (x) = \frac{x ^{2}}{2 ( x - \frac{x ^{3}}{3} )} b. g (x) = \frac{1 + x ^{2}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} d. g (x) = \frac{x ^{2}}{2} ln (1 - x^{2})

(4)

La fonction

x ⟼ ln (- x^{2} - x + 6)

est définie sur

a.] - 3; 2 [c.] 0; + \infty [b.] - \infty; 6] d.] 2; + \infty [

(5)

On considère la fonction

f

définie sur

] 0, 5; + \infty [

par

f (x) = x^{2} - 4 x + 3 ln (2 x - 1)

Une équation de la tangente à la courbe représentative de

f

au point d'abscisse 1 est:

a. y = 4 x - 7 c. y = - 3 (x - 1) + 4 b. y = 2 x - 4 d. y = 2 x - 1

(6)

L'ensemble

S

des solutions dans

R

de l'inéquation

ln (x + 3) < 2 ln (x + 1)

est:

a. S =] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [c. S = \emptyset b. S =] 1; + \infty [d. S =] - 1; 1 [

(1.a)
Calcul d'un angle

Calculer les coordonnées des vecteurs $AB$ et $AC$ et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
(1.b)
Calculer les longueurs AB et AC.
(1.c)
À l'aide du produit scalaire $AB \cdot AC$ , déterminer la valeur du cosinus de l'angle $BAC$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $BAC$ au dixième de degré.
(2.a)
Calcul d'une aire

Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).
(2.b)
Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
(2.c)
En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c'est-à-dire du point d'intersection de la droite (AB) et du plan $P$
(2.d)
Calculer l'aire du triangle ABC.
(3.a)
Calcul d'un volume

Soit le point F $(1; - 1; 3)$ . Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.
(3.b)
Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).
(3.c)
Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Étudier les variations de

h

et dresser son tableau de variation.

(A.3)

En déduire que :

si

a

b

sont deux réels tels que

0 < a < b

alors

h (a) - h (b) < 0

Partie B

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = e^{x}

On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère

(O; , )

(B.1)
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse 0.
(B.2)
Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $T$ et $C_{f}$ au voisinage de $0$ .

Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_{f}$ de même abscisse.

On s'intéresse aux points d'abscisse $\frac{1}{n}$ , avec $n$ entier naturel non nul.

On considère alors la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $u_{n} = exp (\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} - 1$ Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

(A.1)
Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes. $B \overline{B} Total A \overline{A} Total 1$
(A.2.a)
Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
(A.2.b)
Donner la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
(A.2.c)
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
(A.3)
Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
(A.4)
Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de

50

paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note

X

la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

(B.1)
Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
(B.2)
Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut.

Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $1 0^{- 3}$ .
(B.3)
En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ?

(B.3.a)

Démontrer que, pour tout entier naturel non nul

n

u_{n + 1} - u_{n} = h (\frac{1}{n + 1}) - h (\frac{1}{n})

où

h

est la fonction définie à la partie A.

(B.3.b)

En déduire le sens de variation de la suite

(u_{n})

(B.4)

Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à

1 0^{- 9}

des premiers termes de la suite

(u_{n})

n 12345678910 u_{n} 0, 718281828 0, 148721271 0, 062279092 0, 034025417 0, 021402758 0, 014693746 0, 010707852 0, 008148453 0, 006407958 0, 005170918

Donner la plus petite valeur de l'entier naturel

n

pour laquelle l'écart entre

T

C_{f}

semble être inférieur à

1 0^{- 2}

Aperçu de l'épreuve

Partie A

Partie A

Partie B

Partie B