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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2023 · Amérique du Sud · Jour 1 · Remplacement

2023

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 1 + x^{2} - 2 x^{2} ln (x) .$ On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f^{'}$ sa fonction dérivée
Dérivation5 points
(1.a)
Entre 1998 et 2020, en France 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
(1.b)
Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.
(2.a)
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0, 984$ et celle d'un accouchement double est alors égale à $0, 016$ .

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour.

Dans le cas où $n = 20$ , préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points

A(0 ; 4 ; 16), B $(0; 4; - 10)$ , C $(4; - 8; 0)$ et K(0 ; 4 ; 3).

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que KM $= 13$ .
Orthogonalité dans l'espace5 points
Partie A
Le but de la partie A est d'étudier le comportement de la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0, 3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1} = 2 u_{n} (1 - u_{n}) .$ Cette relation de récurrence s'écrit $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , où $f$ est la fonction définie sur $R$ par : $f (x) = 2 x (1 - x) .$
Les suites5 points

(A.1)
Justifier que $x \to 0 lim f (x) = 1$ et, en remarquant que $f (x) = 1 + x^{2} [1 - 2 ln (x)]$ , justifier que $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .
(A.2)
Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = - 4 x ln (x)$ .
(A.3)
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
(A.4)
Démontrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[1; + \infty [$ et que $α \in [1; e]$ .
(A.5)
On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f (x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; 1].

On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction from lycee import * permet d'accéder à la fonction ln.
```
from lycee import *
def f(x) :
    return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)
def dichotomie(p) :
    a=1
    b=2.7
    while b - a > 10**(-p) :
        if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
            b = (a+b)/2
        else :
            a = (a+b)/2
    return (a,b)
```
Il écrit dans la console d'exécution :

$>>>$ dichotomie(1)

Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination). $Proposition A : Proposition B : Proposition C : Proposition D : (1.75, 1.9031250000000002) (1.85, 1.9031250000000002) (2.75, 2.9031250000000002) (2.85, 2.9031250000000002)$

(3.a)

Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à

0, 49

et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à

0, 51

.

Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

$M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
$F_{1}$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
$F_{2}$ : « le second nouveau-né est une fille ».

On notera $P (A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ .

Figure de l'énoncé (Exercice 2) : schéma (arbre ou diagramme).

Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.

(1.a)
Vérifier que le point C appartient à la sphère $S$
(1.b)
Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
(2.a)
Montrer que le vecteur $n 310$ est un vecteur normal au plan (ABC).
(2.b)
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
(3.a)
On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.

Montrer que le point D a pour coordonnées (12 ; 0 ; 0).
(3.b)
Donner une représentation paramétrique de la droite $Δ$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).
(3.c)
Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
(4)
Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre $V = \frac{1}{3} \times B \times h .$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

Partie B

Le but de cette partie est d'étudier un modèle d'évolution d'une population.

En 2022, cette population compte 3 000 individus.

On note

P_{n}

l'effectif en milliers de la population l'année

2022 + n

. Ainsi

P_{0} = 3

.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIXᵉ siècle, on considère que, pour tout entier naturel

n

P_{n + 1} - P_{n} = P_{n} (1 - b \times P_{n})

, où

b

est un réel strictement positif.

Le réel

b

est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

(B.1.a)
Dans cette question $b = 0$ .

Justifier que la suite $(P_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(B.1.b)
Déterminer la limite de $P_{n}$ .
(B.2.a)
Dans cette question $b = 0, 2$ .

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = 0, 1 \times P_{n}$ .

Calculer $v_{0}$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 2 v_{n} (1 - v_{n})$ .

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Partie A

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Partie B

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