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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2023 · Amérique du Sud · Jour 2 · Remplacement

2023

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie A
Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :
Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65 % des cas ;
Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50 % des cas.
La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0, 6$ .

Pour tout évènement $A$ , on note $p (A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ .

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants:
$A_{1}$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1ᵉʳ tir »
$A_{2}$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2ᵉ tir »
$A_{3}$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3ᵉ tir ».
Lois discrètes5 points
Dans un repère orthonormé $(O; , , k)$ on considère les points :

A $(1; 1; - 4)$ , B $(2; - 1; - 3)$ , C $(0; - 1; - 1)$ et $Ω$ (1 ; 1 ; 2).
Orthogonalité dans l'espace5 points
Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 8 n + 6.$
Les suites5 points
Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = ln (1 + e^{- x}) + \frac{1}{4} x .$ On note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; , )$ du plan.
Convexité5 points

(A.1)
Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.
(A.2)
Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à 0,4015.
(A.3.a)
L'objectif de cette question est de calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ , notée $E (X)$ .

Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ . $X = x_{i} p (X = x_{i}) 0 0,1 12 3 0,0735$
(A.3.b)
Calculer $E (X)$ .
(A.3.c)
Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On considère

N

, un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de

N

personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note

Y

la variable aléatoire qui compte parmi les

N

personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

(B.1.a)
Dans cette question, $N = 15$ .

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
(B.1.b)
Donner la probabilité, arrondie à $1 0^{- 3}$ , qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.
(B.2)
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0, 98$ .

(1)
Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
(2.a)
Démontrer que le vecteur $n$ de coordonnées $111$ est normal au plan (ABC).
(2.b)
Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $x + y + z + 2 = 0$ .
(3.a)
Justifier que le point $Ω$ n'appartient pas au plan (ABC).
(3.b)
Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point $Ω$ sur le plan (ABC).
(4)
On admet que $Ω H = 23$ .

On définit la sphère $S$ de centre $Ω$ et de rayon $23$ comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que $Ω M = 23$ .

Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n'appartient pas à la sphère $S$ .

On dit qu'un plan $P$ est tangent à la sphère $S$ en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : $∙ K \in P \cap S ∙ (Ω K) ⊥ P$
(5)
Soit le plan $P$ d'équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point K de coordonnées K(3 ; 3 ; 0).

Démontrer que le plan $P$ est tangent à la sphère $S$ au point K.
(6)
On admet que les plans (ABC) et $P$ sont sécants selon une droite $(Δ)$ .

Déterminer une équation paramétrique de la droite $(Δ)$ .

(1)
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
(2)
Soit $n$ un entier naturel.

Recopier et compléter la fonction suite $_$ u d'argument n ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_{n}$ .
```
def suite_u(n) :
    u = ...
    for i in range(1,n+1) :
        u = ...
    return u
```
(3.a)
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N, u_{n} ⩾ 2 n$ .
(3.b)
En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .
(3.c)
Soit $p \in N^{*}$ . Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_{0}$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n ⩾ n_{0}$ , $u_{n} ⩾ 1 0^{p}$ ?
(4)
Démontrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
(5.a)
On considère la suite $(v_{n})$ , définie pour tout $n \in N$ , par $v_{n} = u_{n} - 2 n + 1$ .

En dessous de la fonction suite $_$ u précédente, on a écrit la fonction suite $_$ v ci-dessous :
```
def suite_v(n):
    L = []
    for i in range(n+1) :
        L.append(suite_u(i) - 2*i + 1)
    return L
```
La commande « L.append » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.

Lorsqu'on saisit suite $_$ v(5) dans la console, on obtient l'affichage suivant :
```
>>> suite_v(5)
[1, 5, 25, 125, 625, 3125]
```
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$ , l'expression de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ .

Démontrer cette conjecture.
(5.b)
En déduire, pour tout entier naturel $n$ , la forme explicite de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Partie B

On admettra que la fonction

f^{'}

est dérivable sur

R

et pour tout réel

x

f^{''} (x) = \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} .

On note

Δ

la tangente à la courbe

C_{f}

au point d'abscisse

0

.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe

C_{f}

la tangente

Δ

et le quadrilatère MNPQ tel que M et N sont les deux points de la courbe

C_{f}

d'abscisses respectives

α

- α

, et Q et P sont les deux points de la droite

Δ

d'abscisses respectives

α

- α

Figure de l'énoncé (Exercice 4) : représentation graphique dans un repère.

(B.1.a)
Justifier le signe de $f^{''} (x)$ pour $x \in R$ .
(B.1.b)
En déduire que la portion de la courbe $C_{f}$ sur l'intervalle $[- α; α]$ , est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.

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