Bac 2023 · Asie · Jour 1

On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}};\overrightarrow{\text{AD}};\overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées :

M$\left(1;1;\frac{3}{4}\right)$, N$\left(0;\frac{1}{2};1\right)$, P$\left(1;0;-\frac{5}{4}\right)$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.

Soit $k$ un réel strictement positif.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation$$\ln (x)=kx$$de paramètre $k$.

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15.

La bille numérotée 1 est rouge.

Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.

Les autres billes sont vertes.

On choisit une bille au hasard dans l'urne.

On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l'évènement : « La bille tirée est rouge » (respectivement bleue et verte).

Question 1 :

Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d'un nombre pair ?$$\begin{array}{cccc}\text{Reˊponse A}& \text{Reˊponse B}& \text{Reˊponse C}& \text{Reˊponse D}\\ \frac{7}{15}& \frac{9}{15}& \frac{11}{10}& \text{Aucune des affirmations preˊceˊdentes n’est juste.}\end{array}$$Question 2 :

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu'elle soit numérotée 7?$$\begin{array}{cccc}\text{Reˊponse A}& \text{Reˊponse B}& \text{Reˊponse C}& \text{Reˊponse D}\\ \frac{1}{15}& \frac{7}{15}& \frac{1}{10}& \text{Aucune des affirmations preˊceˊdentes n’est juste.}\end{array}$$Un jeu est mis en place. Pour pouvoir jouer, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.

Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l'urne.

• Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille.
• Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
• Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il remporte et sa mise de départ.

Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée 3, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

Question 3 :

Que vaut P(G = 5)?$$\begin{array}{cccc}\text{Reˊponse A}& \text{Reˊponse B}& \text{Reˊponse C}& \text{Reˊponse D}\\ \frac{1}{15}& \frac{2}{15}& \frac{1}{3}& \text{Aucune des affirmations preˊceˊdentes n’est juste.}\end{array}$$Question 4 :

Quelle est la valeur de $P_R(G=0)$ ?$$\begin{array}{cccc}\text{Reˊponse A}& \text{Reˊponse B}& \text{Reˊponse C}& \text{Reˊponse D}\\ 0& \frac{1}{15}& 1& \text{Aucune des affirmations preˊceˊdentes n’est juste.}\end{array}$$Question 5 :

Que vaut $P_{(G=-4)}(V)$ ?$$\begin{array}{cccc}\text{Reˊponse A}& \text{Reˊponse B}& \text{Reˊponse C}& \text{Reˊponse D}\\ \frac{1}{15}& \frac{4}{15}& \frac{1}{2}& \text{Aucune des affirmations preˊceˊdentes n’est juste.}\end{array}$$