Bac 2023 · Centres étrangers groupe 1 · Jour 2

def somme_a():
    S = 0
    for k in range(100):
        S=1/(k+1)
    return S

def somme_b():
    S = 0
    for k in range(100) :
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

def somme_c():
    k = 0
    while S < 100 :
        S = S+1/(k+1)
    return S

def somme_d():
    k = 0
    while k < 100:
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

1. (A.1)
   Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.
   
   On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.
2. (A.2)
   Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5;+\infty [$.
3. (A.3.a)
   Démontrer que, dans l'intervalle $]-0,5;+\infty [$, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
4. (A.3.b)
   Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

1. (B.1)
   Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in [-1;\alpha ]$ alors $f(x)\in [-1;\alpha ]$.
2. (B.2.a)
   Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :$$-1⩽u_n⩽u_{n+1}⩽\alpha .$$
3. (B.2.b)
   En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

1. (1.a)
   Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.
2. (1.b)
   Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).
3. (2)
   L'architecte place le point P à l'intersection de la droite (HM) et du plan (BCF).
   
   Montrer que les coordonnées de P sont $\left(2;\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$.
4. (3.a)
   Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{PM}}\cdot \overrightarrow{\text{PN}}$.
5. (3.b)
   Calculer la distance PM.
   
   On admet que la distance PN est égale à $\frac{\sqrt{11}}{3}$.
6. (3.c)
   Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{\text{MPN}}$ ne dépasse pas $55^{\circ }$.
   
   Le toit pourra-t-il être construit ?
7. (4)
   Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes.
   
   Quel est leur point d'intersection ?