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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2023 · Centres étrangers groupe 2 · Jour 1

2023

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $g (x) = ln (x^{2}) + x - 2$
(A.1)
Dérivation5 points
Dans un souci de préservation de l'environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.

S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8.

S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0,4.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
$T_{n}$ l'évènement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$ -ième jour »
$V_{n}$ l'évènement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$ -ième jour »
On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $T_{n}$ ,
Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l'évènement $T_{1}$ est $p_{1} = 1$ .
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l'exercice, $R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
(1)
Une primitive de la fonction $f$ , définie sur $R$ par $f (x) = x e^{x}$ , est la fonction $F$ , définie sur $R$ , par : $a. F (x) = \frac{x ^{2}}{2} e^{x} b. F (x) = (x - 1) e^{x} c. F (x) = (x + 1) e^{x} d. F (x) = x^{2} e^{x^{2}}$
Les suites5 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points

A $(- 1; - 3; 2)$ , B $(3; - 2; 6)$ et C $(1; 2; - 4)$ .
Orthogonalité dans l'espace5 points

Déterminer les limites de la fonction

g

aux bornes de son ensemble de définition.

(A.2)

On admet que la fonction

g

est dérivable sur l'intervalle

] 0; + \infty [

.

Étudier les variations de la fonction

g

sur l'intervalle

] 0; + \infty [

(A.3.a)

Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif

α

tel que

g (α) = 0

(A.3.b)

Déterminer un encadrement de

α

d'amplitude

1 0^{- 2}

(A.4)

En déduire le tableau de signe de la fonction

g

sur l'intervalle

] 0; + \infty [

Partie B

On considère la fonction

f

définie sur l'intervalle

] 0; + \infty [

par:

f (x) = \frac{( x - 2 )}{x} ln (x) .

On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

(B.1.a)
Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
(B.1.b)
Interpréter graphiquement le résultat.
(B.2)
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
(B.3)
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2}}$ .

Partie C

(C)
Étudier la position relative de la courbe $C_{f}$ et de la courbe représentative de la fonction $ln$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

(1)
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les 2ᵉ et 3ᵉ jours,
(2)
Calculer $p_{3}$
(3)
Le 3ᵉ jour, M. Durand utilise son vélo.

Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.
(4)
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$ -ième et $(n + 1)$ -ième jours.
(5)
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 6$ .
(6)
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_{n} = 0, 75 + 0, 25 \times 0, 2^{n - 1} .$
(7)
Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

(2)

On considère la fonction

g

définie par

g (x) = ln (\frac{x - 1}{2 x + 4}) .

La fonction

g

est définie sur:

a. R b.] - 2; + \infty [c.] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [d.] - 2; 1 [

(3)

La fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = (x + 1) e^{x}

est :

a. concave sur R b. convexe sur R c. convexe sur] - \infty; - 3] et concave sur [- 3; + \infty [d. concave sur] - \infty; - 3] et convexe sur [- 3; + \infty [

(4)

Une suite

(u_{n})

est minorée par 3 et converge vers un réel

ℓ

.

On peut affirmer que :

a. ℓ = 3 b. ℓ ⩾ 3 c. La suite (u_{n}) est d \overset{e}{ˊ} croissante. d. La suite (u_{n}) est constante \overset{a}{ˋ} partir d’un certain rang.

(5)

La suite

(w_{n})

est définie par

w_{1} = 2

et pour tout entier naturel

n

strictement positif,

w_{n + 1} = \frac{1}{n} w_{n}

a. La suite (w_{n}) est g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique b. La suite (w_{n}) n’admet pas de limite c. w_{5} = \frac{1}{15} d. La suite (w_{n}) converge vers 0.

(1)
Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera $P$ .
(2.a)
Montrer que le vecteur $n 13 - 16 - 9$ est normal au plan $P$ .
(2.b)
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $13 x - 16 y - 9 z - 17 = 0$ .
(3)
On note $D$ la droite passant par le point F $(15; - 16; - 8)$ et orthogonale au plan $P$ .

Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ .
(4)
On appelle E le point d'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ .

Démontrer que le point E a pour coordonnées (2 ; 0 ; 1).
(5)
Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan $P$ .
(6)
Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $D$ dont la distance au plan $P$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $P$ .

(B.4)

En déduire les variations de la fonction

f

sur l'intervalle

] 0; + \infty [

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Partie A

Partie B

Partie C