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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2023 · Polynésie · Jour 2

2023

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que
si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90 %$ des cas le jour suivant ;
si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70 %$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
On note pour tout entier naturel $n$ :
$R_{n}$ l'évènement : « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$ -ième séance »,
$p_{n}$ la probabilité de l'évènement $R_{n}$ . On considère que $p_{0} = 0, 6$ .
Les suites5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

On considère :
le point A $(1; - 1; - 1)$ ;
le plan $P_{1}$ , d'équation : $5 x + 2 y + 4 z = 17$ ;
le plan $P_{2}$ d'équation : $10 x + 14 y + 3 z = 19$ ;
la droite $D$ de représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = 1 + 2 t - t 3 - 2 t o \overset{u}{ˋ} t d \overset{e}{ˊ} crit R .$
Représentations paramétriques et équations cartésiennes5 points
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
Le plan est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $R$ , ainsi que celle de sa dérivée $f^{'}$ et de sa dérivée seconde $f^{''}$ .
(A.1)
Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
Dérivation5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :
(1)
Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}$ est bornée.
Les suites5 points

(A.1)
Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
(A.2)
Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n + 1} = 0, 6 p_{n} + 0, 3.$
(A.3.a)
On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $u_{n} = p_{n} - 0, 75$ .

Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
(A.3.b)
Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ : $p_{n} = 0, 75 - 0, 15 \times 0, 6^{n} .$
(A.3.c)
En déduire que la suite $(p_{n})$ est convergente et déterminer sa limite $ℓ$ .
(A.3.d)
Interpréter la valeur de $ℓ$ dans le cadre de l'exercice.

Partie B

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de

0, 75

et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note

X

la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un

400

mètres haies qui comporte

10

haies,

(B.1)
Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$ .
(B.2)
Déterminer, à $1 0^{- 3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$ haies.
(B.3)
Calculer $p (X ⩾ 9)$ , à $1 0^{- 3}$ près,

(1)
Justifier que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ ne sont pas parallèles.
(2)
Démontrer que $D$ est la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$ .
(3.a)
Vérifier que A n'appartient pas à $P_{1}$ .
(3.b)
Justifier que A n'appartient pas à $D$ .
(4.a)
Pour tout réel $t$ , on note $M$ le point de $D$ de coordonnées $(1 + 2 t; - t; 3 - 2 t)$ .

On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe A $M^{2}$ , soit $f (t) = A M^{2}$ .

Démontrer que pour tout réel $t$ , on a: $f (t) = 9 t^{2} - 18 t + 17$ .
(4.b)
Démontrer que la distance AM est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3; - 1; 1)$ .
(5)
On note H le point de coordonnées $(3; - 1; 1)$ .

Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à $D$ .

(5)

On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que

len

(L) renvoie la longueur, c'est-à-dire le nombre d'éléments de la liste L.

def mystere(L) :
    M = L[0]
    # On initialise M avec le premier élément de la liste L
    for i in range(len(L)) :
        if L[i] > M :
            M = L[i]
    return M

Affirmation : L'exécution de mystere( [2, 3, 7,0 ,6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

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Partie A

Partie A

Partie B

Partie B