Bac 2024 · Amérique du Nord · Jour 1

Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.

Déterminer $P(X<6)$. Arrondir le résultat au millième.

Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X⩾k)⩾0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.

Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.

Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.

On considère les points A(1 ; 0 ; 3) et B(4 ; 1 ; 0).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est:$$\begin{array}{cc}\text{a. }\{\begin{array}{lcl}x& =& 3+t\\ y& =& 1\\ z& =& -3+3t\end{array}\text{ avec }t\in \mathbb{R}& \text{b. }\{\begin{array}{lcl}x& =& 1+4t\\ y& =& t\\ z& =& 3\end{array}\text{ avec }t\in \mathbb{R}\\ \text{c. }\{\begin{array}{lcl}x& =& 1+3t\\ y& =& t\\ z& =& 3-3t\end{array}\text{ avec }t\in \mathbb{R}& \text{d. }\{\begin{array}{lcl}x& =& 4+t\\ y& =& 1\\ z& =& 3-3t\end{array}\text{ avec }t\in \mathbb{R}\end{array}$$On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique

$\{\begin{array}{lcl}x& =& 3+4t\\ y& =& 6t\\ z& =& 4-2t\end{array}$ avec $t\in \mathbb{R}$

Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?$$\begin{array}{cccc}\text{a. M(7 ; 6 ; 6)}& \text{b. N(3 ; 6 ; 4)}& \text{c. P}(4;6;-2)& \text{d. R}(-3;-9;7)\end{array}$$

On considère la droite $(d^{\prime })$ de représentation paramétrique

$\{\begin{array}{lcl}x& =& -2+3k\\ y& =& -1-2k\\ z& =& 1+k\end{array}$ avec $k\in \mathbb{R}$

Les droites $(d)$ et $(d^{\prime })$ sont:$$\begin{array}{cccc}\text{a. seˊcantes}& \text{b. non coplanaires}& \text{c. paralleˋles}& \text{d. confondues}\end{array}$$

On considère le plan $(P)$ passant par le point I(2 ; 1 ; 0) et perpendiculaire à la droite $(d)$.

Une équation du plan $(P)$ est:$$\begin{array}{cc}\text{a. }2x+3y-z-7=0& \text{b. }-x+y-4z+1=0\\ \text{c. }4x+6y-2z+9=0& \text{d. }2x+y+1=0\end{array}$$

Lire graphiquement $f^{\prime }(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.

Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Que semble représenter le point A pour la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ ?

Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$.

Déterminer $f^{\prime }(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$.

Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$,$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}.$$

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.

Étudier les variations de la fonction $f^{\prime }$, puis le signe de $f^{\prime }(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$.

En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.

Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie :$${\alpha }^2=\text{exp}\left(\frac{1}{{\alpha }^2}\right).$$

Calculer $I_0$.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n⩾0$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1}-I_n⩽0$.

Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a :$$I_n⩽{\int }_0^{\pi }{\text{e}}^{-nx}\text{d}x.$$

Montrer que, pour tout entier naturel $n⩾1$, on a :$${\int }_0^{\pi }{\text{e}}^{-nx}\text{d}x=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-n\pi }}{n}.$$

Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.

En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n⩾1$ :

$I_n=1+{\mathrm{e}}^{-n\pi }-n{J}_n$ et $I_n=\frac{1}{n}{J}_n$

En déduire que, pour tout entier naturel $n⩾1$, on a$$I_n=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-n\pi }}{n^2+1}$$

On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.

Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

 1  from math import *
 2  def seuil() :
 3      n = 0
 4      I = 2
 5      ...
 6          n=n+1
 7          I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
 8      return n