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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2025 · Amérique du Nord · Jour 1

2025

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :
25 % des connexions transitent via le serveur A;
15 % des connexions transitent via le serveur B;
le reste des connexions s'effectue via le serveur C.
Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :
90 % des connexions via le serveur A sont stables;
80 % des connexions via le serveur B sont stables;
85 % des connexions via le serveur C sont stables.
Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.
Partie A
On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise. On considère les évènements suivants :
$A$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur A »;
$B$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur B »;
$C$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur C »;
$S$ : « La connexion est stable ».
On note $\overline{S}$ l'évènement contraire de l'évènement $S$ .
Loi binomiale6 points
On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , par : $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}$ On admet que la suite $(u_{n})$ est bien définie.
Les suites5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = - 3 - 2 t - 1 - 2 - 6 t, o \overset{u}{ˋ} t \in R$ On considère également les points suivants :
A $(3; - 3; - 2)$
B $(5; - 4; - 1)$
C le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2
H le projeté orthogonal du point B sur le plan $P$ d'équation $x + 3 z - 7 = 0$
Affirmation 1

La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Affirmation 2

Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne : $x + 3 z + 3 = 0$ Affirmation 3

Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $BAC$ est $\frac{π}{6}$ .

Affirmation 4

La distance BH est égale à $\frac{10}{2}$ .
Orthogonalité dans l'espace4 points
La partie C est indépendante des parties A et B.
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ , représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $R$ . L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g ’$ .

On précise également que :
La courbe $C_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$ .
La courbe $C_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(- 2; 0)$ et $(1; 0)$ .
Dérivation5 points

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à

0, 145

(B.1.a)
Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l'entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
(B.1.b)
Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables. On donnera la valeur arrondie au millième.
(B.2.a)
Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables et on admet que $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et 0,145.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
(B.2.b)
Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la probabilité $p_{n}$ est supérieure ou égale à 0,99.
(B.3.a)
On s'intéresse à la variable aléatoire $F_{n}$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On a donc $F_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ , où $X_{n}$ est la variable aléatoire définie à la question 2.

Calculer l'espérance $E (F_{n})$ .

On admet que $V (F_{n}) = \frac{0 , 123975}{n}$ .
(B.3.b)
Vérifier que : $P (∣ F_{n} - 0, 145 ∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{12 , 5}{n}$
(B.3.c)
Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000} = 0, 3$ . Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

(1)
Calculer le terme $u_{1}$ .
(2.a)
On définit la suite $(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$ , par : $a_{n} = \frac{u _{n}}{u _{n} - 1}$ On admet que la suite $(a_{n})$ est bien définie.

Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$ .
(2.b)
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ .
(2.c)
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $a_{n} ⩾ 3 n - 1$
(2.d)
En déduire la limite de la suite $(a_{n})$ .
(3.a)
On souhaite étudier la limite de la suite $(u_{n})$ .

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1}$ .
(3.b)
En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .
(4.a)
On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :
```
 1  def algo(p):
 2      u=2
 3      n=0
 4      while u-1>p:
 5          u=(2*u+1)/(u+2)
 6          n=n+1
 7      return (n,u)
```
Interpréter les valeurs $n$ et $u$ renvoyées par l'appel de la fonction $algo(p)$ dans le contexte de l'exercice.
(4.b)
Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p = 0, 001$ .

Partie C

On considère la fonction

f

définie pour tout nombre réel

x

par :

f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x}

(C.1)
Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à 0.

On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est égale à $+ \infty$ .
(C.2.a)
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ . On note $f ’$ la fonction dérivée de $f$ sur $R$ .

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f ’ (x) = (- x^{2} - x + 1) e^{- x}$ .
(C.2.b)
Déterminer le signe de la fonction dérivée $f ’$ sur $R$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $R$ .
(C.3)
Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
(C.4)
On notera $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O; , )$ . On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F (x) = (- x^{2} - 5 x - 7) e^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$ .

Soit $α$ un nombre réel positif.

Déterminer l'aire $A (α)$ , exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = α$ .

Aperçu de l'épreuve

Partie A

Partie A

Partie B

Partie B

Partie C