Bac 2025 · Amérique du Nord · Jour 2 · sujet interactif
Aperçu de l'épreuve
4
Questions
4
Corrigés rédigés
20
Barème total
4
Chapitres couverts
Ministère de l'Éducation nationale · France
Bac 2025 · Amérique du Nord · Jour 2
2025
4h
4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.
Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de 0,32.
Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.
On note N la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.
Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
(A.1)
On admet que la variable aléatoire N suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
(A.2)
Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
(A.3)
Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
Loi binomiale5 points
Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel ln(2), en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVIᵉ siècle.
On désigne par (un) la suite définie par :u0=2 et, pour tout entier naturel n,un+1=un
Les suites5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Partie A
ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.
Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].
Affirmation 1 : « JH=2BI+DM−CB »
Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs (AB,AH,AG) est une base de l'espace. »
Affirmation 3 : « IB⋅LM=−41. »
Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
le plan P d'équation cartésienne 2x−y+3z+6=0
les points A(2;0;−1) et B(5;−3;7)
Affirmation 4 : « Le plan P et la droite (AB) sont parallèles. »
Affirmation 5 : « Le plan P′ parallèle à P passant par B a pour équation cartésienne −2x+y−3z+34=0 »
Affirmation 6 : « La distance du point A au plan P est égale à 214. »
On note (d) la droite de représentation paramétrique⎩⎨⎧xyz===−12+2k−6−3−−5k,ouˋk∈RAffirmation 7 : « Les droites (AB) et (d) ne sont pas coplanaires. »
Orthogonalité dans l'espace5 points
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [0;π] parf(x)=exsin(x).On note Cf la courbe représentative de f dans un repère.
Dérivation5 points
(A.4)
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire N.
(A.5.a)
On note T la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
Exprimer T en fonction de N.
(A.5.b)
En déduire l'espérance de la variable aléatoire T. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
(A.5.c)
Calculer P(12⩽T⩽18).
Partie B
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.
On admet que l'espérance E(X)=22 et la variance V(X)=65.
Victor joue n matchs, où n est un nombre entier strictement positif.
On note X1,X2,…,Xn les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1er,2e,…,n-ième matchs. On admet que les variables aléatoires X1,X2,…,Xn sont indépendantes et suivent la même loi que celle de X.
On pose Mn=nX1+X2+…+Xn.
(B.1.a)
Dans cette question, on prend n=50.
Que représente la variable aléatoire M50 ?
(B.1.b)
Déterminer l'espérance et la variance de M50.
(B.1.c)
Démontrer que P(∣M50−22∣⩾3)⩽9013.
Partie A
(A.1.a)
Donner la valeur exacte de u1 et de u2.
(A.1.b)
Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
(A.2.a)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1⩽un+1⩽un.
(A.2.b)
En déduire que la suite (un) est convergente.
(A.2.c)
Résoudre dans l'intervalle [0;+∞[ l'équation x=x.
(A.2.d)
Déterminer, en justifiant, la limite de la suite (un).
Partie B
On désigne par (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn=ln(un).
(B.1.a)
Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 21.
(B.1.b)
Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.
Partie A
(A.1.a)
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0;π],f′(x)=ex[sin(x)+cos(x)].
(A.1.b)
Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;2π]
(A.2.a)
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
(A.2.b)
Démontrer que la fonction f est convexe sur l'intervalle [0;2π].
(A.2.c)
En déduire que pour tout réel x de l'intervalle [0;2π], exsin(x)⩾x.
(A.3)
Justifier que le point d'abscisse 2π de la courbe représentative de la fonction f est un point d'inflexion.
Partie B
On noteI=∫02πexsin(x)dxetJ=∫02πexcos(x)dx.
(B.1)
En intégrant par parties l'intégrale I de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :I=1+JetI=e2π−J.
(B.1.d)
En déduire que la probabilité de l'évènement « 19<M50<25 » est strictement supérieure à 0,85.
(B.2)
Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
« Il n'existe aucun entier naturel n tel que P(∣Mn−22∣⩾3)<0,01 ».
(B.1.c)
En déduire que, pour tout entier naturel n, ln(2)=2nln(un).
(B.2.a)
On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe C de la fonction ln et la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.
Une équation de la droite T est y=x−1.
Les points A0, A1, A2 ont pour abscisses respectives u0, u1 et u2 et pour ordonnée 0.
On décide de prendre x−1 comme approximation de ln(x) lorsque x appartient à l'intervalle ]0,99;1,01[.
Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel k tel que uk appartienne à l'intervalle ]0,99;1,01[ et donner une valeur approchée de uk à 10−5 près.
(B.2.b)
En déduire une approximation de ln(uk).
(B.2.c)
Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de ln(2).
(B.3)
On généralise la méthode précédente à tout réel a strictement supérieur à 1.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de ln(a).
On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à a.
from math import*
def Briggs(a):
n = 0
while a >= 1.01:
a = sqrt(a)
n = n+1
L =...
return L
(B.2)
En déduire que I=21+e2π.
(B.3)
On note g la fonction définie sur R par g(x)=x.
Les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle [0;π].
Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes Cf et Cg et les droites d'équation x=0 et x=2π.
