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Ministère de l'Éducation nationale · France

Bac 2025 · Amérique du Nord · Jour 2 · Secours

2025

4 questions pour 20 points au total. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x e^{- x} + 2 x - 1.$ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $R$ .

On appelle $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f^{''}$ la fonction dérivée seconde de $f$ , c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f^{'}$ .
Dérivation5 points
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$(O; , , k)$ est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = - 3 - 3 t - 2 + 3 t - 1 + 4 t, t \in R$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2 x - 3 y + z - 6 = 0$ .
Représentations paramétriques et équations cartésiennes5 points
Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $1 0^{- 4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2 %$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90 %$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62 %$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :
$C$ : « la personne a été contaminée »
$V$ : « la personne a été vaccinée ».
Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$ .
Probabilités conditionnelles et indépendance5 points
L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $⎩ ⎨ ⎧ u_{0} = 0 u_{1} = \frac{1}{2} u_{n + 2} = u_{n + 1} - \frac{1}{4} u_{n}$
Les suites5 points

Partie A : Étude de la fonction $f$

(A.1)
Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
(A.2)
Pour tout réel $x$ , calculer $f^{'} (x)$ .
(A.3)
Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{''} (x) = (x - 2) e^{- x}$
(A.4)
Étudier la convexité de la fonction $f$ .
(A.5)
Étudier les variations de la fonction $f^{'}$ sur $R$ , puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

Les limites de la fonction $f^{'}$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
(A.6)
En déduire le signe de la fonction $f^{'}$ sur $R$ , puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $R$ .
(A.7)
Justifier qu'il existe un unique réel $α$ tel que $f (α) = 0$ .

Donner un encadrement de $α$ , au centième près.
(A.8)
On considère la droite $Δ$ d'équation $y = 2 x - 1$ .

Étudier la position relative de la courbe $C_{f}$ par rapport à la droite $Δ$ .

(1)
Affirmation : La droite $D^{'}$ , qui a pour représentation paramétrique

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = 4 - 6 t z = 9 - 8 t, t \in R$ , est parallèle à la droite D.
(2)
On admet que les points A $(- 2; 3; 1)$ , B $(1; 3; - 4)$ et C $(6; 3; 9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.
(3)
Affirmation : La droite D est sécante avec la droite $Δ$ qui a pour représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x y z = = = - 4 + 2 t^{'} - 1 - 3 t^{'} - 2 + 2 t^{'} t^{'} \in R$
(4)
Affirmation : Le point F $(- 3; - 3; 3)$ est le projeté orthogonal du point E $(- 5; 0; 2)$ sur le plan $P$ .
(5)
Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P^{'}$ d'équation $- 3 x + y - a^{2} z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite D.

Note du rédacteur « pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »

(1)
À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P (C)$ , $P (V)$ et la probabilité conditionnelle $P_{C} (V)$ .
(2.a)
Calculer $P (C \cap V)$ .
(2.b)
En déduire $P (\overline{C} \cap V)$ .
(3)
Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.
(4)
Calculer $P_{V} (C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
(5.a)
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

« Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
(5.b)
« Plus de 98 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »
(6.a)
On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.

La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0, 02$ .

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
(6.b)
Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

Aperçu de l'épreuve

Bac 2025 · Amérique du Nord · Jour 2 · Secours

Partie A : Étude de la fonction $f$

Partie B : Calcul d'aire

Partie A : Conjecture

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Partie C : Étude de la suite $(u_{n})$

Aperçu de l'épreuve

Partie A : Étude de la fonction f

Partie B : Calcul d'aire

Partie A : Conjecture

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Partie C : Étude de la suite (un​)

Partie A : Étude de la fonction $f$

Partie C : Étude de la suite $(u_{n})$