Limites des fonctions

Théorème (croissances comparées, exponentielle) : Pour tout entier naturel $n$ :$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \text{et}\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$$Autrement dit, en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

Méthode

1. Repérer une forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$ ou $0\times \infty$ opposant $e^x$ (ou $e^{-x}$) à une puissance de $x$.
2. Factoriser par $e^x$ (ou par la puissance dominante) pour faire apparaître $\frac{e^x}{x^n}$ ou $x^n{e}^x$.
3. Appliquer directement le théorème de croissances comparées.

*Exemple :* $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x+x}{e^x-x^2}$ (forme $\frac{\infty }{\infty }$). On factorise par $e^x$ :$$\frac{e^x+x}{e^x-x^2}=\frac{1+\frac{x}{e^x}}{1-\frac{x^2}{e^x}}$$Par croissances comparées, $\frac{x}{e^x}\to 0$ et $\frac{x^2}{e^x}\to 0$, donc par quotient : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x+x}{e^x-x^2}=1$.